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domingo, 2 de setembro de 2012

NÚMEROS NATURAIS

Por: Anderson Silva e Samuel Silva
    Eai pessoal !!! Neste documento pretendemos fazer uma breve pesquisa sobre os números naturais, sua origem, sua historia e suas características. Então vamos lá tentar aprender sobre os números naturais, você está pronto?

HISTORIA DOS NÚMEROS NATURAIS


   A origem dos números naturais surgiu a partir das necessidades do próprio homem,  estudar a origem dos números é investigar a origem da humanidade e tentar entender como se comportava os seres humanos à milhares de anos atrás.

   Há cerca 50 mil anos, as pessoas viviam em grupos pouco numerosos, alimentavam-se da caça e coleta de frutos e raízes, abrigavam-se em cavernas para proteger-se do tempo e dos inimigos. Eles não comerciavam e não usavam dinheiro, não plantavam, não criavam animais e nem construíam suas casas. Com o passar de milhões de anos, esse modo de vida foi se alterando... O homem deixa de ser apenas caçador e coletor de alimento e passa a ser agricultor. Passa a capturar animais para tê-los como reserva de alimento, aprende a domesticá-lo e aproveitar-se do que ofereciam... Assim foram evoluindo!!! A agricultura e o pastoreio provocaram inúmeras mudanças na vida do homem. Passaram a se organizar e a viver em grupos, a reservar alimento para atender a população que crescia. Com o sentimento de propriedade (animais, terra e produtos dela extraídos) o homem desenvolveu o comércio rudimentar e o sistema de trocas. Nos primeiros tempos, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso...
Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/ossos.jpg
   Para controlar o rebanho e ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem, usavam pedras. Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra.
   O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra!
   O avanço seguinte  foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um poderoso sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10.

   A origem e a formulação do conceito de Número ocorreu com o próprio desenvolvimento da Matemática. A partir das necessidades diárias do homem, o conceito de Número Natural surgiu naturalmente através da contagem de objetos. Assim, este conceito foi introduzido pelas nações, em conjunto com o desenvolvimento de suas formas próprias de escrita, criando o sistema de contagem.



DEFINIÇÃO


   Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }

- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Representado assim:

N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }

    A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

   Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
   Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

    Quando um conjunto é finito?

   O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
   Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}

    Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.

• O conjunto dos alunos da classe.
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

   O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
   Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior.
  Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

   Considerando-se a sucessão:
   O menor número natural é o zero (0).

   Não existe o maior número natural, ou seja, ela é infinita.
  Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

   Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.

    Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

    Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

  O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,…}

  O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a seqüência dos números ímpares.
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}



Propriedades da Adição



            Associativa
 
    No conjunto dos números naturais, a adição é associativa, pois de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.

           Exemplo:
 
( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) = 9

         Comutativa

    No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela.

         Exemplo:

  2 + 6 = 6 + 2 = 8

         Elemento Neutro
 
   Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

         Exemplo:
 
9 + 0 = 0 + 9 = 9


    É a operação que tem como objectivo adicionar o primeiro número designado por multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número designado multiplicador.
 
    Por exemplo, 5 vezes 3 é somar o número 3 cinco vezes:
 
5 X 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =15


   O resultado da multiplicação é designado produto e os números dados que deram origem ao produto, são chamados factores.

   As propriedades da multiplicação são a associatividade, comutatividade, distributividade e existência de elemento neutro.

 

Propriedades da Multiplicação



            Associativa

    Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais factores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro factor com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

( m + n ) + l = m + ( n + l )

           Exemplo:
 
( 2  X 4 ) X 5 = 2 X( 4 X 5 ) = 40



          Comutativa
 
   Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos factores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento, isto é:
m X  n = n X m

         Exemplo:

   2 X 5 = 5 X 2 = 10



        Distributiva
 
    Um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o factor, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m X ( n + l ) = m X n + m X l

        Exemplo:

   2 X ( 3 + 5 ) = 2 X 3 + 2 X 5 = 6 + 10 = 16

             
        Elemento Neutro
 
   No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1 X n = n X 1 = n

        Exemplo:

 1 X 5 = 5 X 1 = 5
    
   Dados dois números naturais. Para sabermos quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O maior número, que sabemos ser o primeiro tem nome de dividendo e o outro número que é o menor é denominado divisor. O resultado obtido da divisão é chamado quociente.
Se multiplicarmos o divisor pelo quociente vamos obter o dividendo.
 
   Na divisão dos números naturais, algumas das propriedades verificadas para a adição e para a multiplicação não se verificam, como é o caso do fechamento. A divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e como resultado disto a divisão não é exata.


   Relações essenciais numa divisão de números naturais

   Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

         Exemplo:
  

      35 /7 = 5
   Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

        Exemplo:
 

       35 = 5 X 7
   A divisão de um número natural n por zero não em sentido pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:
 

n /0 = q

e isto não significa que:
 

         q X 0 = n

   o que não está correto, logo a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita, muitas vezes, impossível.



        REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA


Desconhecido, A historia dos números. Disponível em http://historia-dos-numeros.blogspot.com.br/ acessado no dia 18 de agosto de 2012.


Regina Carla, História dos Números Inteiros. Disponível em http://mateeduc.blogspot.com.br/2010/04/historia-dos-numeros-inteiros.html acessado no dia 18 de agosto de 2012.


Daniela de Miranda, Números Naturais. Disponível em http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm,  acessado no dia 19 de agosto de 2012.

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