Eai
pessoal !!! Neste documento pretendemos fazer uma breve pesquisa sobre os
números naturais, sua origem, sua historia e suas características. Então vamos
lá tentar aprender sobre os números naturais, você está pronto?
HISTORIA DOS NÚMEROS NATURAIS
A origem dos números naturais surgiu a partir das necessidades do próprio homem, estudar a origem dos números é investigar a origem da humanidade e tentar entender como se comportava os seres humanos à milhares de anos atrás.
Há cerca 50 mil anos, as pessoas viviam em grupos pouco numerosos, alimentavam-se da caça e coleta de frutos e raízes, abrigavam-se em cavernas para proteger-se do tempo e dos inimigos. Eles não comerciavam e não usavam dinheiro, não plantavam, não criavam animais e nem construíam suas casas. Com o passar de milhões de anos, esse modo de vida foi se alterando... O homem deixa de ser apenas caçador e coletor de alimento e passa a ser agricultor. Passa a capturar animais para tê-los como reserva de alimento, aprende a domesticá-lo e aproveitar-se do que ofereciam... Assim foram evoluindo!!! A agricultura e o pastoreio provocaram inúmeras mudanças na vida do homem. Passaram a se organizar e a viver em grupos, a reservar alimento para atender a população que crescia. Com o sentimento de propriedade (animais, terra e produtos dela extraídos) o homem desenvolveu o comércio rudimentar e o sistema de trocas. Nos primeiros tempos, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso...
Há cerca 50 mil anos, as pessoas viviam em grupos pouco numerosos, alimentavam-se da caça e coleta de frutos e raízes, abrigavam-se em cavernas para proteger-se do tempo e dos inimigos. Eles não comerciavam e não usavam dinheiro, não plantavam, não criavam animais e nem construíam suas casas. Com o passar de milhões de anos, esse modo de vida foi se alterando... O homem deixa de ser apenas caçador e coletor de alimento e passa a ser agricultor. Passa a capturar animais para tê-los como reserva de alimento, aprende a domesticá-lo e aproveitar-se do que ofereciam... Assim foram evoluindo!!! A agricultura e o pastoreio provocaram inúmeras mudanças na vida do homem. Passaram a se organizar e a viver em grupos, a reservar alimento para atender a população que crescia. Com o sentimento de propriedade (animais, terra e produtos dela extraídos) o homem desenvolveu o comércio rudimentar e o sistema de trocas. Nos primeiros tempos, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso...
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| Fonte: http://matematica.no.sapo.pt/ossos.jpg |
Para controlar o rebanho e ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem, usavam pedras. Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra.
O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra!
O avanço seguinte foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um poderoso sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10.
A origem e a formulação do conceito de Número ocorreu com o próprio desenvolvimento da Matemática. A partir das necessidades diárias do homem, o conceito de Número Natural surgiu naturalmente através da contagem de objetos. Assim, este conceito foi introduzido pelas nações, em conjunto com o desenvolvimento de suas formas próprias de escrita, criando o sistema de contagem.
A origem e a formulação do conceito de Número ocorreu com o próprio desenvolvimento da Matemática. A partir das necessidades diárias do homem, o conceito de Número Natural surgiu naturalmente através da contagem de objetos. Assim, este conceito foi introduzido pelas nações, em conjunto com o desenvolvimento de suas formas próprias de escrita, criando o sistema de contagem.
DEFINIÇÃO
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.
• O conjunto dos alunos da classe.
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.
Considerando-se a sucessão:
O menor número natural é o zero (0).
Não existe o maior número natural, ou seja, ela é infinita.
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.
Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
Propriedades da Adição
Associativa
No conjunto dos números naturais, a adição é associativa, pois de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.
Exemplo:
Exemplo:
( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) = 9
Comutativa
No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela.
Exemplo:
2 + 6 = 6 + 2 = 8
Elemento Neutro
Na adição de números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
Exemplo:
Exemplo:
9 + 0 = 0 + 9 = 9
É a operação que tem como objectivo adicionar o primeiro número designado por multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número designado multiplicador.
Por exemplo, 5 vezes 3 é somar o número 3 cinco vezes:
5 X 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =15
O resultado da multiplicação é designado produto e os números dados que deram origem ao produto, são chamados factores.
As propriedades da multiplicação são a associatividade, comutatividade, distributividade e existência de elemento neutro.
Propriedades da Multiplicação
Associativa
Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais factores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro factor com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
( m + n ) + l = m + ( n + l )
Exemplo:
( 2 X 4 ) X 5 = 2 X( 4 X 5 ) = 40
Comutativa
Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos factores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento, isto é:
Exemplo:
Distributiva
m X n = n X m
Exemplo:
2 X 5 = 5 X 2 = 10
Distributiva
Um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o factor, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
Exemplo:
m X ( n + l ) = m X n + m X l
Exemplo:
2 X ( 3 + 5 ) = 2 X 3 + 2 X 5 = 6 + 10 = 16
Elemento Neutro
No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
Exemplo:
1 X n = n X 1 = n
Exemplo:
1 X 5 = 5 X 1 = 5
Dados dois números naturais. Para sabermos quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O maior número, que sabemos ser o primeiro tem nome de dividendo e o outro número que é o menor é denominado divisor. O resultado obtido da divisão é chamado quociente.
Se multiplicarmos o divisor pelo quociente vamos obter o dividendo.
Na divisão dos números naturais, algumas das propriedades verificadas para a adição e para a multiplicação não se verificam, como é o caso do fechamento. A divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e como resultado disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
Exemplo:
Relações essenciais numa divisão de números naturais
Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
Exemplo:
35 /7 = 5
Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
Exemplo:
Exemplo:
35 = 5 X 7
A divisão de um número natural n por zero não em sentido pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever:
e isto não significa que:
n /0 = q
e isto não significa que:
q X 0 = n
o que não está correto, logo a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita, muitas vezes, impossível.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
Desconhecido, A historia dos números. Disponível em http://historia-dos-numeros.blogspot.com.br/ acessado no dia 18 de agosto de 2012.
Regina Carla, História dos Números Inteiros. Disponível em http://mateeduc.blogspot.com.br/2010/04/historia-dos-numeros-inteiros.html acessado no dia 18 de agosto de 2012.
Daniela de Miranda, Números Naturais. Disponível em http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-naturais.htm, acessado no dia 19 de agosto de 2012.
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