MaThEmAnIaCoS: TRIGONOMETRIA (introdução a Sen, Cos e Tg)

Por: Samuel Silva e Anderson Silva
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: TRI = TRÊS, GONOS = ÂNGULOS e METRON = MEDIR. Considerada uma das áreas mais importantes da Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados à Física, Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, entre muitas outras.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao matemático grego Hiparco, ele é considerado até hoje o pai da trigonometria. Sendo isso, porque o mesmo foi o principal estudante sobre os assuntos iniciais da trigonometria. Este foi o que relacionou os lados e ângulos de um triângulo retângulo, e também possivelmente foi o primeiro a criar uma tabela de valores trigonométricos.

Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente.

Bom, para dar inicio ao nossos estudos, vamos partir da seguinte situação-problema:
Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:

Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55º > 30º).

Vejamos agora a seguinte situação-problema sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas é a mais íngreme???

Situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo, podem ser resolvidas com o estudo da trigonometria.

Para cada ponto de partida e ponto de chegado, temos um ponto P alcançado na subida, temos um percurso, um afastamento e uma altura. Observe o desenho a seguir:

Para cada um dos pontos , a razão entre a altura e o afastamento correspondente é dada por:

Note que a razão entre a altura e o afastamento, para cada ponto de uma mesma subida, é uma constante (é sempre a mesma).

Até agora, verificamos quanto subida é íngreme usando o ângulo de subida ou então o índice de subida.

Quanto maior o ângulo de subida, mais íngreme é a subida.
Quanto maior o índice de subida, mais íngreme é a subida.

Será que podemos associar esses dois coeficientes numa mesma subida??

É o que veremos a seguir.

A idéia de tangente

Usaremos a palavra tangente para associar a medida do ângulo de subida com o índice da mesma subida. A tangente do ângulo de subida é igual ao índice de subida associado, e o indicaremos por k1.

A idéia de seno

Em qualquer subida podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, que será um número que indicaremos por k2. e chamaremos de seno do ᾱ.

O número k2, da mesma forma que a medida do ângulo de subida, pode nos indicar quanto a subida é íngreme.

A idéia de cosseno

Em qualquer subida podemos determinar a razão entre o afastamento e o percurso, que será um número que indicaremos por k3 e chamaremos de cosseno do ᾱ.

O número k3 , da mesma forma que a medida do ângulo de subida, indica-nos quanto a subida é íngreme.

Definição de seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos:

Vamos lá, se ABC é um triângulo retângulo em A, temos:

a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto);
b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto);

Consideramos agora um ângulo AÔB = θ, 0º < θ < 90º tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. Da semi-reta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc., a semi-reta OB.

Para prosseguimos com nossos estudos é preciso que você já tenha estudado sobre semelhança de triângulos. Espero que você já tenha visto esse assunto pelo menos uma vez, pois fica difícil entender os próximos passos.

Como você deve ter percebido os triângulos OCD, OEF, OGH, etc., são semelhantes por terem os mesmos ângulos.

Podemos portanto escrever:

CD/OC = EF/OE = GH/OG = .... (constante)

Essa relação depende apenas do ângulo θ (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual θ é um dos ângulos agudos) e é chamado de seno de θ e escrevemos: