FRAÇÕES

Por: Anderson Silva e Samuel Silva

Os primeiros passos rumo às frações deram-se no Egito, pelas mãos do faraó Sesóstris, que teve a ideia de repartir as terras próximas ao Rio Nilo para alguns agricultores. Mas na época de cheia do Nilo a divisória entre o terreno de cada um era perdida, então esses agricultores passaram a marcar uma corda com números fracionados, já que dificilmente um pedaço de terra tinha uma medida inteira, serviço praticado pelos estiradores de cordas. Por exemplo: a corda era estirada ao todo três vezes e meia para abranger todo o terreno.

A matemática com o uso das frações foi se desenvolver anos mais tardes. Os egípcios consideravam a fração como fazendo parte da unidade. No Egito por volta de 1.650 a.C., já existia uma espécie de manual de matemática conhecido como papiro Ahmes, continha 80 problemas de matemática e suas resoluções. Envolviam situações como calcular preço de pão, grãos, alimentação do gado, ou seja, atribulações diárias do cotidiano daquele povo. Sendo o sistema de números dos egípcios baseado em sete números chave.

Posteriormente as frações foram sendo utilizadas por outros povos, de outras maneiras, como em Roma e na Síria. Os gregos também foram povos doutos de muito saber. Entretanto, foi o sistema de numeração hindu que revolucionou o que conhecemos hoje por números racionais, o que simplificou e muito os cálculos com frações.

As frações surgiram da nescessidade de registrar as medidas de forma mais precisa.

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar").

Vamos imaginar a seguinte situação :

Samuel comprou uma pizza e dividiu para seus dois amigos Anderson e Márcio, de modo que ficassem três partes iguais.

Que parte caberá a cada um?

Dizemos que a pizza ( representada pela figura de um circulo) é a unidade ou o todo ou ainda o inteiro.

Representamos a parte pintada pela fração 1/3.

Pela figura, vemos a pizza dividida em três parte iguais e a parte que ficará para cada um será de 1/3.

De forma simples, pode-se dizer que em uma fração, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.

Muitas vezes nesta postagens usaremos a seguinte determinação para fração: a/b onde a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador. 

•  LEITURA DAS FRAÇÕES.

O que determina como se ler uma fração é seu denominador. Vejamos alguns exemplos de diferetes frações e como devemos ler.

FRAÇÕES COM DENOMINADORES DE 2 A 9.

1/2: metade, um meio ou meio.

1/3: Um terço.

2/3: Dois terços.

3/4: Três quartos.

2/5: Dois quintos.

5/6: Cinco sextos.

4/7: quatro sétimos.

3/8: Três oitavos

4/9: Quatro nonos 

FRAÇÕES COM DENOMINADORES 10, 100 OU 1000, CHAMAMOS DE FRAÇÕES DECIMAIS.

1/10: Um décimo

5/100:  Cinco centésimos.

30/1000: Trinta milésimos.

Frações com outros denominadores.

Lemos o número do denominador e acrescentamos a palavra avos .

1/11: Um onze avos

5/12; um doze avos

5/33: Um trinta e três avos 

• TIPOS DE FRAÇÃO.

Frações Próprias:

São aquelas onde o numerador é menor que o denominador.

Frações Impróprias:

São aquelas onde o numerador é maior que o denominador.

Exemplos:

Frações Aparentes:

São aquelas em que o numerador é multiplo do denominador.

Esta fração é aparente pois 10(numerador) é multiplo de 5(denominador).

• COMPARAÇÃO DE FRAÇÃO.

Podemos comparar frações utilizando a representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas.


Quando os denominadores são iguais, basta compararmos somente o valor dos numeradores. 

Como 5 > 3 > 1, logo a maior fração será aquela com o numerador 5.

A fração 5/8 é maior que 3/8 que é maior que 1/8. Como posso ter certeza?

É simples. Toda fração é uma divisão, portanto, basta dividirmos o numerador pelo denominador. A fração que apresentar o resultado maior será a maior!

5/8 = 0,625 ; 3/8 = 0,375 ; 1/8 = 0,125

Outra maneira de raciocinarmos seria entender que dividir 5 laranjas entre 8 pessoas será um número MAIOR de laranjas (neste caso pedaço de laranja) do que dividir 3 laranjas entre 8 pessoas e assim sucessivamente...



Quando os denominadores são diferentes, devemos realizar operações no intuito dos denominadores se tornarem iguais. Quando eles se tornam iguais aplicamos as definições da primeira situação.  O processo que irá transformar os denominadores em valores iguais é chamado de redução e consiste em descobrir um número pelo qual iremos multiplicar os membros de uma fração para que os denominadores assumam o mesmo valor. Observe: 

As frações dadas possuem denominador 2, 3 e 4.  Devemos encontrar o menor multiplico comum entre elas. Para isso, podemos fatorar os denominadores.

Utilizaremos o 12 como denominador comum entre elas.

Em seguida, dividimos o numero doze pelo antigo denominador e multiplicamos o resultado pelo numerador. Como mostra a operação abaixo.

12/2 = 6  
12/3 = 4
12/4 = 3

Logo:

Agora devemos realizar o método de comparação com denominadores iguais. 

Sendo assim,  9 > 8 > 6, podemos concluir que a maior fração será 3/4.

• FRAÇÕES EQUIVALENTES.

Observe a figura:

As frações 2/3, 4/6 e 6/9 representam o mesmo valor, porém seus termos são números diferentes. Estas frações são denominadas Frações Equivalentes.

Para obtermos uma fração equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero).

Exemplo:

OPERAÇÃO COM FRAÇÕES

• ADIÇÃO DE FRAÇÕES.

1) DENOMINADORES IGUAIS

Quando as frações possuem o mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominadores.

Exemplos:

2) DENOMINADORES DIFERENTES.

Quando os denominadores são diferentes,  devemos descobrir MMC (mínimo múltiplo comum) para que possamos resolve-la. 

mmc (2,3) = 6

O MMC entre 4 e 3 é o 12 , sabemos disso pois o 6 é o menor número que pode ser dividido pelos dois denominadores (4,3). 

O próximo passo é dividir o MMC achado, neste caso o 6 pelo denominador de cada fração e multiplicar o resultado da divisão pelo numerador. 

Vejamos alguns exemplos de adição de fração.

3/4 +2/4  =  5/4

4/7 + 5/7 = 9/7

13/11 + 5/11 = 28/11

5/4 + 1/2  = 7/4

5/6 + 6/5 = 60/30 = 2

• SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES.

Para fazer a subtração de fração devemos utilizar os mesmo métodos da adição.

1) DENOMINADORES IGUAIS

Quando as frações possuem o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominadores. 

Exemplo:

2) DENOMINADORES DIFERENTES.

Quando os denominadores são diferentes,  devemos descobrir MMC (mínimo múltiplo comum) para que possamos resolve-la.

mmc (2,3) = 6 

O próximo passo é dividir o MMC achado, neste caso o 6 pelo denominador de cada fração e multiplicar o resultado da divisão pelo numerador. 

• MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES.

Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos numeradores por numeradores e denominadores por denominadores, e em alguns casos, se necessário devemos simplificar.

• DIVISÃO DE FRAÇÕES.

Observe o problema.

Suzana ganhou 1/2 de uma barra de chocolate. Ela resolveu dividir o que ganhou com sua  amiga, em partes iguais. Com que fração da barra de chocolate cada uma delas ficou?



Para realizarmos a divisão de frações, devemos transformar a divisão em multiplicação. Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da  segunda.

Exemplo:

Bem, por esse método fica simples a resolução do problema acima.

Então vamos lá!!!


Problema.

Suzana ganhou 1/2 de uma barra de chocolate. Ela resolveu dividir o que ganhou com sua  amiga, em partes iguais. Com que fração da barra de chocolate cada uma delas ficou?

Suzane possui metade de uma barra de chocolate. Mas, como ela resolveu dividir a metade da barra  com sua amiga, logo ela ficou com a metade da metade da barra de chocolate.

Confuso não é?

Vamos escrever essa operação matematicamente.
Ela possuía 1/2 da barra de chocolate, então ela dividiu esse 1/2 para 2. Como mostra a figura abaixo.

Ou podemos imaginar da seguinte forma:

Primeiramente ela tinha metade.

Dividiu sua metade por 2.

Logo, ela ficou com 1/4 da barra de chocolate.

 

RESOLVA OS PROBLEMAS

1) Numa excursão de 60 pessoas, 5/6 são homens e o restante são mulheres. Quantos São as  mulheres?

2) Uma indústria automobilística produziu 1820 carros em agosto. Em setembro produziu apenas  3/5 dessa quantia. Quantos carros foram produzidos em setembro?

3) Se uma hora tem 60 minutos, quantos minutos são 3/4 da hora?

4) Uma prova de matemática tinha 40 questões. Paula acertou 5/8 delas. Quantas questões ela  acertou?

5) Num mês de 30 dias, diga quantos dias correspondem a 5/6 do mês?

6) Uma pizzaria tem uma frota de 12 motos para fazer entregas em domicilio. Dois terços dessa  frota são pilotadas por garotas. Nessa frota, quantas  motos são pilotadas por garotas?

7) Num tanque de combustível, 35 litros equivalem a 7/8 de sua capacidade. Qual é a capacidade  desse tanque?

8) Dois sétimos dos parafusos que estão em uma caixa correspondem a 16 parafusos. Quantos  parafusos há nessa caixa?

9) Com o dia de hoje, lá se vão 2/5 deste ano de 2007. Em que mês estávamos quando o  professor disse essa frase?

10) Ricardo está com 12 anos e tem um terço da idade de sua mãe. Qual é a idade dela?

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

Autor desconhecido,  Operações com Frações. Disponível em  http://www.colegioweb.com.br/matematica-infantil/operacoes-com-fracoes.html acessado no dia  15 de setembro de 2012

Autor desconhecido, Tipos de Frações. Disponível em http://www.estudamos.com.br/fracao/tipos_de_fracoes.php, acessado no dia 17 de setembro de 2012.

Autor desconhecido, Frações. Disponível em http://files.comunidades.net/profjosecarlos/FRACOES.pdf. Acessado no dia 19 de setembro de 2012

CASTRO, Alfredo e MULLER, Armando. Matemática Vol.1. Porto Alegre: Editora Movimento, 1981.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

Flávio Coutinho, Frações: O Início da História. Disponível em http://www.culturamix.com/cultura/historia/fracões-o-inicio-da-historia, acessado no dia 11 de setembro de 2012

SCHEIDMANDEL, Nilo Alberto. Organizador. Chapecó, 2008.